complementi matematica finanziaria

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  1. Aspetti essenziali di matematica finanziaria
    tempi e importi

    • Questi 2 aspetti agiscono su:
    • 1.Valore oggi di un futuro diritto a un importo
    • 2.Importo oggi da investire, che valore avrà, e come lo potrei investire?

    Questi ragionamenti pongono le basi delle leggi finanziarie; le leggi finanziarie riguardano lo scambio di una tipologia di bene = moneta
  2. grandezze ottenibili combinando tempi e importi
    • Se combiniamo gli importi con i tempi otteniamo altre grandezze essenziali
    • - Tasso = importo/importo
    • - Flusso = importo/tempo
    • - Intensità(es: intensità di accrescimento di capitale) = flusso/tempo = tasso/tempo
  3. interesse, definizione e come si ottiene
    • Interesse = corrispettivo per aver ceduto temporaneamente un importo C = I (C=capitale)
    • I + C = M(montante)
    • I = M – C
    • I/C = tasso d’interesse; esso dipende dalla durata dell’oeprazione(es: tasso mensile, annuale, etc.)
    • Di solito il tasso se non specificato diversamente è tasso ANNUALE = i(in italia) = r(estero)
  4. sconto, e valore attuale
    • D = sconto = riduzione di un importo(C) per ottenere la disponibilità immediata di C => D = M-C
    • D/C = Tasso di sconto

    • Le leggi finanziarie = risultato dei diversi modi di calcolo dell’interesse
    • INTERESSE ≠ SCONTO

    • VA = Valore attuale = importo odierno(C-D) = importo futuro C
    • MAI SOMMARE 2 IMPORTI DI TEMPI DIVERSI
  5. definizione attualizzazione e capitalizzazione
    Capitalizzazione = ho un importo oggi -->voglio sapere il valore che avrà domani (ci si sposta avanti nel tempo)

    Attualizzazione = ho un importo domamni -->quanto vale oggi( ci si sposta indietro nel tempo)
  6. regime finanziario e tipologie
    • Regime finanziario = applicazione di una particolare legge finanziaria; esistono 2 principali regimi finanziari
    • - Regime di capitalizzazione; 2 tipi
    • 1- capitalizzazione semplice
    • 2- capitalizzazione composta
    • - Regime di attualizzazione/sconto; 3 tipi
    • 1- sconto commerciale
    • 2- sconto razionale
    • 3- sconto composto
  7. montante e capitale considerando i fattori
    • M = C x fattore di montante; il fattore di montante sempre > 1
    • C = M x fattore di attualizzazione; fattore di attualizzazione sempre < 1
    • C= M x fatt. att = C x fat. Di mont. x fat di att.
    • Il fattore di attualizzazione = 1/fat. Montante => C=M/Fat.mont M=C/Fat.att

    In teoria Cxfattore di attualizzazione x fattore di capitalizzazione = C; nella pratica bancaria non è MAI così.
  8. capitalizzazione semplice
    Capitalizzazione semplice => I = proporzione di C, numero periodo, interesse periodico

    • I = C ∙ i ∙ n
    • 40 = 4000 x 0,05 x 4

    I è aggiunto a C SOLO AL TERMINE DEI PERIODI => C e I viaggiano su 2 linee diverse che si ricongiungono al termine del periodo.

    Mn=M in relazione ad n = C+I = C+(c∙i∙n) = C(1+i∙n) = fattore di capitalizzazione semplice
  9. capitalizzazione composta
    Capitalizzazione composta => I = I dell’interesse semplice MA, gli interessi vengono calcolati alla fine di ogni periodo dell’interesse => C e I viaggiano sulla stessa linea ricongiungendosi per ogni sotto periodo(es: mese) del periodo del prestito(es: anno)

    • Esempio pratico
    • n= 1 => M1 = C(1+i)
    • n=2 => M2 = M1+M1∙i = M1(1+i) = C(1+i)2
    • n=3 => M3= M2+M2∙i= C(1+i)3

    • diciamo che graficamente la relazione int. Composto e semplice è la seguente

    In= Mn – C =C (1+i)n-C = C[(1+i)n-1]



    n < anno => t = g/365

    g = n giorni tra inizio e fine del prestito



    • E’
    • convenzione usare un rapporto 360/365 => uso solo di feriali con un rapporto
    • “giorni effettivi/giorni effettivi”.
  10. Formule inverse di capitalizzazione e attualizzazione
  11. Proprietà del fattore di montante:
    Mt = C(1+i ∙ t) - Capitalizzazione semplice

    Mt = C(1+i)t - Capitalizzazione composta

    Mt = C µ(t) = fattore di montante astratto

    • µ(t) dev’essere ≥ 1
    • µ(0) dev’essere = 1
    • µ(t) dev’essere crescente = µ’(t) >0
  12. Regimi di attualizzazione:
    • -Sconto commerciale
    • Mt ∙ d ∙ t = S (o D se preferisci)

    d = tasso di sconto annuo unitario

    C = Mt – S = Mt – Mt ∙ d ∙ t = Mt(1-d ∙ t)

    • Lo sconto commerciale è usato per:
    • •Sconto di cambiali
    • •Sconto titoli
    • •Usato per operazioni con durate brevi, in quanto se t o/e d danno un risultato > 1 l’importo si azzera => t < 1/d
    • •i nella medesima capitalizzazione/attualizzazione è sempre > d per gli interessi che con l’attualizzazione si ottiene subito(si riducono un pochino perché non aspetto)

    -Sconto Razionale(o sconto semplice) = S = (Mt ∙ i ∙ t)/(1 + i ∙ t)

    C = Mt – S = Mt - (Mt ∙ i ∙ t)/(1 + i ∙ t) => (Mt /(1 + i ∙ t) = Mt(1/1+I ∙ t)

    Questa tipologia di sconto non ha problemi di tempo

    • -Sconto composto
    • FA = 1/FM => 1/(1+i)t => C(o V) = M(1+i)-t = M/(1+i)t
    • S = C/[1-(1+i)-n]
  13. Proprietà del fattore di attualizzazione:
    C = Mt v(t) -> fattore di attualizzazione astratto

    • v(t) dev’essere ≤ 1
    • v(0) dev’essere = 1
    • v(t) dev’essere decrescente = v’(t) < 0
  14. Regimi finanziari particolari
    • -Regime di capitalizzazione misto
    • -Regime di capitalizzazione a tassi variabili

    • Il primo è dato dall’unione della capitalizzazione semplice e composta => per gli anni si usa il composto e per i mesi la semplice

    Il secondo invece vede l’applicazione di un tasso diverso tra il periodo temporale tra C e Mt

    M4 = C(1+i1)t1 (1+i2)t2-t1 (1+i3)t3-t2 (1+i4)t4-t3

    NB: IL TASSO RICHIEDE SEMPRE LA SPECIFICA DEL TEMPO(annuale, mensile) a pena di inculata a sangue :P
  15. Equivalenze tra tassi:
    I tassi si dicono equivalenti (in capitalizzazione) quando danno lo stesso montante

    • Dati:
    • i = tasso annuo
    • k = n. periodi in cui dividere l’anno
    • ik = tasso periodico
    • esempio: i1/k = i2 = semestrale, i1/2 = bimestrale, etc.
  16. Equivalenze tra tassi in cap. semplice e in cap. composta:
    • C.S
    • C(1+ik K) => ik = i/K

    • C.C
    • C(1+ik)k => 1+i = (1+ik)k => ik = (1+i)1/k – 1 = [radice kappesima di (1+i)] -1 = formula per convertire il tasso di cap. composta annuale in tasso di k periodi

    NB: i in C.c < i in CS se si hanno stesso tempo(periodi) e stesso montante.
  17. Proprietà additiva di C.s e C.c
    C = C1+C2 => M = (C1+C2)(1+i)t = C1(1+I)t + C2(1+i)t = M1 + M2
  18. Scindibilità – interruzione e ripresa delle operazioni
    La scindibilità consiste nella possibilità di interrompere un’operazione di capitalizzazione e riprenderla subito dopo mantenendo il solito montante dell’operazione priva di interruzioni.

    • C.s non gode di scindibilità = 1000€ - 6% tasso annuale - 3 anni
    • M= 1000(1+3x0,06) = 1080

    • Se interrompiamo dopo 1 anno = 1000(1+1x0,06) = 1060 => 1060(1+2x0,06) = 1187,2 ≠ 1080
    • NON E’ SCINDIBILE

    C.c gode di scindibilità = 1000(1+3)0,06 = 1191,016

    1000(1+1)0,06 = 1060 => 1060(1+3)0,06 = 1191,016 => SCINDIBILITA’
  19. Proprietà del fattore di montante per la scindibilità:
    t1,t2 = periodo tra t1 e t2

    u(t1,t2) => u(t1,t2) = [1+i(t2 - t1)] => u(t1,t3)= u(t1,t2)∙ u(t2,t3)
  20. Sconto composto e scindibilità:
    v(t1,t3) = v(t1,t2) ∙ v(t2,t3) = sconto composto è scindibile

    Di conseguenza indipendentemente da come ci si muove, se si usa la capitalizzazione e lo sconto composti si ottiene sempre(per medesimo tempo e tasso) il solito montante/valore attuale => indipendenza del risultato dal percorso, diversamente da cap e scon. semplice/commerciale.
  21. Proprietà di scala:
    • MTC = C ∙ u(0, T)
    • MTKC= k ∙ C ∙ u(0, T) => valute non incidono sul calcolo dei montanti(k è il valore di conversione della valuta)



    M(t – M(t +△t) = △M(t) = I(interesse)

    △M(t) / M(t) = tasso d’interesse

    △M(t)/ △t = flusso degli interessi

    [△M(t)/M(t)]/ △(t) = △M(t)/ (M(t) ∙ △(t)) = intensità di accrescimento degli interessi∙
  22. Forza di interesse
    L'incremento del montante è dato dal montante al tempo t+∆t - il montante al tempo t =

    ∆M(t)=M(t+∆t) − M(t)

    • Entrambi gli addendi sono divisibili per ∆tM(t) =>

    • La funzione, date le leggi stabilite, è derivabile =>

    • La forza d'interesse nel caso della cap. semplice è molto debole e tende a ridurre l'incremento di montante sempre di più.

    • Nel caso della cap. composta
    • NB: in relazione ai periodi intermedi Ceδ k t k= Ceδt =>
    • δk = δ/k
  23. Equità finanziaria
    • Se attualizziamo vari importi x, ad un tempo intermedio t, tra t0 e tm , otterremo di dover sommare varie attualizzazioni e capitalizzazioni al tempo t =>
    • dove tj porta al valore negativo(quindi attual) quando > di t.

    • Fatto ciò, se volessimo capitalizzare o attualizzare l'importo così determinato ad un tempo diverso, sarebbe sufficiente moltiplicarlo per il fattore di montante o di attualizzazione, senza ulteriori passaggi:
    • dove r rappresenta il punto nel tempo diverso da t

    • Ma in virtù della scindibilità => equità finanziaria

Card Set Information

Author:
skyx
ID:
102778
Filename:
complementi matematica finanziaria
Updated:
2011-10-01 12:49:16
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complementi matematica finanziaria
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