Mathe I

Card Set Information

Author:
alionfried
ID:
135706
Filename:
Mathe I
Updated:
2012-02-18 06:44:08
Tags:
Mathe
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Description:
Mathe
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  1. Durchschnitt zweier Mengen
    S ∩ T = {x|x ∈ S ∧ x ∈ T}
  2. Vereinigung zweier Mengen
    S ∪ T = {x | x ∈ S ∨ x ∈ T}
  3. Mengendifferenz
    S \ T = {x|x ∈ S ∧ x ∉ T}
  4. Symmetrische Differenz
    S ∆ T = {x|(x ∈ S ∧ x ∉ T) ∨ (x ∉ S ∧ x ∈ T)}
  5. Komplement einer Menge
    ∁S = M \ S = {x|x ∈ M ∧ x ∉ S}
  6. Definition: Relation
    R ⊆ MxN
  7. Definition: Inverse Relation
    • R-1 ⊆ NxM
    • R-1 = {(y,x)|(x,y)∈R}
  8. Definition: Verkettung von Relationen
    • R1 o R2 ⊆ M1 x M3
    • R1 o R2={(x,z)|x∈M1∧z∈M3∧∃y∈M2:(x,y)∈R1∧(y,z)∈R2}
  9. Identische Relation
    I = {(x,x) : x ∈ M}
  10. Reflexive Relation
    • I ⊆ R
    • ∀x ∈ M: (x,x) ∈ R
  11. Irreflexive Relation
    • I ∩ R = ∅
    • ∀x ∈ M: (x,x) ∉ R
  12. Symmetrische Relation
    • R ⊆ R-1
    • ∀x ∈ M: (x,y) ∈ R ⇒ (y,x) ∈ R
  13. Asymmetrische Relation
    • R ∩ R-1 = ∅
    • ∀x ∈ M: (x,y) ∈ R ⇒ (y,x) ∉ R
  14. Antisymmetrische Relation
    • R ∩ R-1 ⊆ I
    • ∀x,y ∈ M: (x,y) ∈ R ∧ (y,x) ∈ R ⇒ x = y
  15. Transitive Relation
    • R o R ⊆ R
    • ∀x,y,z ∈ M: (x,y) ∈ R ∧ (y,z) ∈ R ⇒ (x,z) ∈ R
  16. Transitive Hülle
    R+ = {(x,y) ∈ M x M| ∃m ≥ 1, z0,z1,...,zm∈M : z0 = x∧zm = y ∧ (z0,z1)∈R∧(z1,z2)∈R∧...∧(zm-1,zm)∈ R}
  17. Transitiv Reflexive Hülle
    R* = {(x,y) ∈ M x M| x=y ∨ ∃m ≥ 1, z0,z1,...,zm∈M : z0 = x∧zm = y ∧ (z0,z1)∈R∧(z1,z2)∈R∧...∧(zm-1,zm)∈ R}
  18. Ordnungsrelation ≤
    • 1. reflexiv
    • 2. antisymmetrisch
    • 3. transitiv
  19. strikte Ordnungsrelation <
    • 1. asymmetrisch
    • 2. transitiv
  20. totale Ordnungsrelation
    • wenn je zwei Elemente von M bzgl. R vergleichbar sind
    • ∀x,y ∈ M : (x,y) ∈ R∨ (y,x) ∈ R
  21. Nachbarschaftsrelation
    Es sei < eine strikte Ordnungsrelation in der Menge M. Die Nachbarschaftsrelation <N ist:

    x<Ny x<y ∧ ∄z∈M : x < z ∧ z<y
  22. Hasse Diagramm
    Das "Hassediagramm" einer Ordnungsrelation ist das Pfeildiagramm der Nachbarschafftsrelation.
  23. Größtes Element
    • b heißt größtes Element von A, falls b∈A und für alle x ∈ A gilt x ⊑ b
    • (∀x ∈ A : x ⊑ b)
  24. Maximales Element
    • m heißt maximales Element von A, falls m ∈ A und es gibt kein x ∈ A mit m < x
    • (∄x ∈ A : m < x) oder ( ∀x ∈ A : m ≤ x ⇒ x = m)
  25. Obere Schranke
    Sei ≤ eine Ordnungsrelation in der Menge M. Es sei A ⊆ M eine beliebige Teilmenge.

    os ∈ M heißt obere Schranke von A, falls ∀x ∈ A: x ≤ os
  26. obere Grenze
    Sei ≤ eine Ordnungsrelation in der Menge M. Es sei A ⊆ M eine beliebige Teilmenge.

    og ∈ M heißt obere Schranke von A, falls og minimales Element der Menge der oberen Schranken ist.
  27. Supremum
    Sei ≤ eine Ordnungsrelation in der Menge M. Es sei A ⊆ M eine beliebige Teilmenge.

    s ∈ M heißt Supremum, falls s kleinstes Element der Menge der oberen Schranken ist. Wir schreiben s=sup A
  28. Verband
    Sei ≤ eine Ordnungsrelation in der festen Menge M, derart, das zu je zwei Elementen a, b ∈ M das Supremum sup{a,b} und das Infimum inf{a,b} existiert. Wir definieren Operationen ⊔ und ⊓ durch:

    • a⊔b = sup{a,b}
    • a⊓b = inf {a,b}
  29. Äquivalenzrelation
    • Sei M eine Menge und R ⊆ M x M eine Relation in M.
    • R heißt Äquivalenzrelation, falls

    • 1. R ist reflexiv
    • 2. R ist symmetrisch
    • 3. R ist transitiv
  30. Äquivalenzklassen:
    Sei M eine Menge und ≣ eine Äquivalenzrelation. Für jedes x ∈ M ist die Äquivalenzklasse [x] gegeben durch:

    [x] = {y ∈ M : y ≣ x}

    Unter der Äquivalenzklasse von ≣ versteht man die Elemente der Menge: {[x]: x ∈ M}.
  31. Kongruenz Modulo M
    Sei m ∈ ℕ beliebig aber fest. Zwei Zahlen a,b ∈ ℤ heißen kongruent modulo m, in Zeichen a ≣m genau dann wenn m|b-a.
  32. Restklassen
    Die Äquivalenzklasse der Relation ≣m ⊆ ℤ x ℤ heißen Restklassen modulo m. Für a ∈ ℤ wird Restklasse [a]m geschrieben. Die Menge aller Restklassen modulo m wird mit ℤ/m bezeichnet.
  33. Links - (Rechts) Eindeutig
    Seien M1,M2 beliebigen Mengen und R ⊆ M1 x M2 eine beliebige Relation. R heißt links- (rechts) eindeutig falls

    • ∀x1,x2∈ M1, ∀y∈M2: (x1,y)∈R ∧ (x2,y) ∈ R ⇒ x1 = x2
    • (∀y1,y2∈ M2, ∀y∈M1: (x,y1)∈R ∧ (x,y2) ∈ R ⇒ y1 = y2)
  34. Links- (Rechts)Totalität:
    Seien M1,M2 beliebigen Mengen und R ⊆ M1 x M2 eine beliebige Relation. R heißt links- (rechts) eindeutig falls

    • ∀x∈ M1 : ∃y ∈ M2 : (x, y) ∈ R
    • (∀y∈ M2 : ∃x ∈ M1 : (x, y) ∈ R)
  35. Abbildung
    Seien M1,M2 beliebige Mengen. Eine Relation R ⊆ M1 x M2 heißt Abbildung von M1 nach M2 genau dann wenn R rechtseindeutig und linkstotal ist.

    • 1. ∀y1,y2∈ M2, ∀x∈M1: (x,y1)∈R ∧ (x,y2) ∈ R ⇒ y1 = y2
    • 2. ∀x ∈ M1 : ∃y ∈ M2 : (x, y) ∈ R ∀x∈ M
  36. Sur - In und Bijektivität:
    Eine Abbildung f: M1→ M2 heißt

    • surjektiv - wenn f rechtstotal
    • injektiv - wenn f linkseindeutig
    • bijektiv - wenn f linkseindeutig und rechtstotal
  37. Verknüpfung
    Sei M eine beliebige nichtleere Menge. Eine Verknüpfung o in der Menge M ist eine Abbildung:

    o : M x M → M

    • Sind x,y ∈ M zwei Elemente des Rechenbereichs M, dann wird das Verknüpfungsergebnis x o y bezeichnet.
    • Das Parr (M, o) wird algebraische Struktur genannt.
  38. Kommutativgesetz
    ∀x,y ∈ M : x o y = y o x
  39. Assoziativgesetz
    ∀x,y,z ∈ M : (x o y) o z = x o (y o z)
  40. Existenzsatz
    • ∀a,b ∈ M : ∃x ∈ M : a o x = b
    • (∀a,b ∈ M : ∃x ∈ M : x o a = b)
  41. Eindeutigkeitssatz
    • ∀a,b ∈ M : ∀x1,x2 ∈ M : a o x1 = b ∧ a o x2 = b ⇒ x1 = x2
    • (∀a,b ∈ M : ∀x1,x2 ∈ M : a o x1 = b ∧ a o x2 = b ⇒ x1 = x2)
  42. Gruppe:
    Eine algebraische Struktur (G,o) heißt Gruppe, wenn gilt:

    • 1. (a o b) o c = a o (b o c) (Assoziativgesetz)
    • 2. Es gibt ein e ∈ G (neutrales Element von G) mit folgenden Eigenschaften:

    • (a) e o a = a für alle a ∈ G (linksneutrales Element)
    • (b) Zu jedem a ∈ G gibt es ein a' ∈ G mit a' o a = e
  43. Abelsche Gruppe
    Ist G eine Gruppe gilt ferner noch das Kommutativgesetz (a o b = b o a) für alle a,b ∈ G), so heißt G abelsche Gruppe. Anstatt von "o" verwendet man dann meist "+".
  44. Ordnung einer Gruppe
    Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente. Für die Ordnung einer Gruppe G schreibt man oft |G| oder ord(G).

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