MAT 07. Metrické prostory

Card Set Information

Author:
hrbi
ID:
222522
Filename:
MAT 07. Metrické prostory
Updated:
2013-06-08 17:23:24
Tags:
mat
Folders:

Description:
mssz 2013
Show Answers:

Home > Flashcards > Print Preview

The flashcards below were created by user hrbi on FreezingBlue Flashcards. What would you like to do?


  1. Metrický prostor
    • X = (X, ϱ), X množina, ϱ: X2 → R nezáporná reálná funkce (metrika)
    • ∀x, y, z ∈ X:
    • 1. ϱ(x, y) = 0 ⇔ x = y
    • 2. ϱ(x, y) = ϱ(y, x)
    • 3. ϱ(x, y) + ϱ(y, z) ≥ ϱ(x, z)
  2. Otevřená koule
    • S(x0, r) = {x | x ∈ X, ϱ(x, x0) < r}
    • ε-okolí bodu x0 Oε(x0) = S(x0, ε)
  3. Uzavřená koule
    S[x0, r] = {x | x ∈ X, ϱ(x, x0) ≤ r}
  4. Bod uzávěru množiny
    • x je bod uzávěru M, pokud libovolně malé ε-okolí bodu x obsahuje nějaký prvek z M
    • existuje posloupnost {xn} konvergující k x
  5. Uzávěr množiny
    • M množina všech bodů uzávěru množiny M
    • M ⊆ M
  6. Uzavřená množina
    M = M
  7. Vnitřní bod množiny
    x je vnitřní bod množiny M, pokud existuje ε-okolí bodu x takové, že leží celé v M
  8. Otevřená množina
    všechny body jsou vnitřní
  9. Hromadný bod
    • x je hromadný bod M, pokud libovolně malé ε-okolí bodu x obsahuje nekonečně mnoho prvků z M
    • existuje posloupnost {xn}, xn ≠ xm, n ≠ m, konvergující k x
  10. Izolovaný bod
    x ∈ M je izolovaný, pokud existuje ε-okolí bodu x obsahující jen x
  11. Konvergence posloupnosti
    posloupnost x1, x2, ... ∈ X konverguje k bodu x ∈ X, pokud ke každému ε-okolí bodu x existuje N(ε) ∈ N takové, že všechny body xn, n ≥ N(ε), leží v tomto okolí
  12. Limita posloupnosti
    • x je limita posloupnosti {xn} ⇔
    • lim_{n→∞} ϱ(x, xn) = 0
  13. Hustá množina
    množina A je hustá v B, pokud A ⊇ B
  14. Všude hustá množina
    množina A je všude hustá v X, pokud A = X
  15. Separabilní metrický prostor
    obsahuje spočetnou všude hustou množinu
  16. Spojité zobrazení
    • (X, ϱ), (Y, ϱ*) metrické prostory
    • f: X → Y je spojité v bodě x0 ∈ X ⇔
    • pro každé ε > 0 existuje δ > 0:
    • ∀x ∈ X: ϱ(x, x0) < δ ⇒ ϱ*(f(x), f(x0) < ε
    • ∀x ∈ Oδ(x0): f(x) ∈ Oε(f(x0))
    • spojité: spojité ve všech bodech x ∈ X
  17. Homeomorfismus
    vzájemně jednoznačné a vzájemně spojité zobrazení
  18. Homeomorfní prostory
    existuje homeomorfismus mezi prostory
  19. Izometrické zobrazení
    • (X, ϱ), (Y, ϱ*) metrické prostory
    • f: X → Y je vzájemně jednoznačné zobrazení
    • f je izometrické ⇔
    • ∀x, y ∈ X: ϱ(x, y) = ϱ*(f(x), f(y))
  20. Izometrické prostory
    existuje izometrické zobrazení mezi prostory
  21. Cauchyovská posloupnost
    • (X, ϱ) metrický prostor
    • {xn} ∈ X je Cauchyovská ⇔
    • ∀ε > 0: ∃N(ε) ∈ N: ϱ(xm, xn) < ε, m,n ≥ N(ε)
  22. Úplný prostor
    každá Cauchyovská posloupnost v něm konverguje
  23. Podprostor
    • (X, ϱ) metrický prostor, M ⊂ X, ϱ* := ϱ|M
    • (M, ϱ*) je podprostor X
  24. Zúplnění prostoru
    • (X, ϱ) metrický prostor
    • (X*, ϱ*) je zúplnění (úplný obal) ⇔
    • 1. (X, ϱ) je podprostor (X*, ϱ*)
    • 2. X je husté v X* (X = X*)
  25. Kontraktivní zobrazení
    • (X, ϱ) metrický prostor
    • f: X → X
    • f je kontraktivní ⇔
    • zmenšuje vzdálenost mezi body
    • ∃α < 1:∀x, y ∈ X: ϱ(f(x), f(y)) ≤ ϱ(x, y)
  26. Pevný bod zobrazení
    x je pevný bod f ⇔ f(x) = x
  27. Banachův princip pevného bodu
    Každé kontraktivní zobrazení definované v úplném metrickém prostoru má právě jeden pevný bod
  28. Kompaktní množina
    množina M v metrickém prostoru X je kompaktní, pokud z každé posloupnosti {xn} ⊂ M je možné vybrat podposloupnost, která konverguje k některému bodu x ∈ X
  29. Metoda postupných aproximací
    • f je definovaná na <a, b>, je kontraktivní
    • potom posloupnost x0, x1 = f(x0), x2 = f(x1), ..., xn = f(xn-1) koverguje k jedinému kořenu rovnice f(x) = x

What would you like to do?

Home > Flashcards > Print Preview