MAT 08. Normované a unitární prostory

Card Set Information

Author:
hrbi
ID:
222533
Filename:
MAT 08. Normované a unitární prostory
Updated:
2013-06-05 07:44:44
Tags:
mat
Folders:

Description:
mssz 2013
Show Answers:

Home > Flashcards > Print Preview

The flashcards below were created by user hrbi on FreezingBlue Flashcards. What would you like to do?


  1. Vektorový prostor
    • (L, +, 0, -) je komutativní grupa
    • L je množina vektorů
    • + je vektorový součet
    • 0 je nulový vektor
    • - je opačný vektor
    • (T, +, 0, -, ·, 1) je číselné těleso (množina skalárů)
    • k tomu navíc existuje operace násobení vektoru skalárem:
    • 1. α(βx) = (αβ)x, α,β ∈ T, x ∈ L
    • 2. 1x = x, 1 ∈ T, x ∈ L
    • navíc platí distributivita:
    • 1. (α + β)x = αx + βx, α,β ∈ T, x ∈ L
    • 2. α(x + y) = αx + αy, α ∈ T, x,y ∈ L
    • pak L je vektorovým prostorem nad číselným tělesem T
  2. Normovaný prostor
    • každému prvku x ∈ L je přiřazeno reálné nezáporné číslo ∥x∥ (norma):
    • 1. ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0
    • 2. ∥αx∥ = |α|·∥x∥
    • 3. ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥
  3. Banachův prostor
    úplný normovaný prostor
  4. Lineární závislost
    vektory x, y, ..., w jsou lineárně závislé ⇔ ∃α, β, ..., λ (aspoň jedno nenulové) takové, že αx + βy + ... + λw = 0
  5. Dimenze prostoru
    lze najít n lineárně nezávislých vektorů, ale n+1 už je vždy závislých, pak n je dimenze prostoru
  6. Báze
    libovolný systém n lineárně nezávislých prvků, n je dimenze
  7. Podprostor
    • L vektorový prostor
    • M ⊆ L je podprostor prostoru L ⇔
    • ∀x, y ∈ M, α, β ∈ R: αx + βy ∈ M
    • nulový: M = {0}
    • vlastní: M ≠ {0} ∧ M ≠ L
  8. Lineární obal
    • {xα} libovolná neprázdná množina prvků prostoru L
    • lineární obal L{xα} je průnik všech podprostorů prostoru L obsahujících {xα}
    • minimální podprostor obsahující množinu {xα}
  9. Skalární součin
    • reálná funkce (x, y):
    • 1. (x, y) = (y, x)
    • 2. (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y)
    • 3. (λx, y) = λ(x, y)
    • 4. (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 ⇔ x = 0
  10. Unitární prostor
    • prostor se skalárním součinem
    • indukovaná norma: ∥x∥ = √(x, x)
  11. Úhel mezi vektory
    cos φ = (x, y) / (∥x∥ · ∥y∥)
  12. Ortogonální vektory
    (x, y) = 0
  13. Fourierova řada
    • φ1, φ2, ..., φn, ... ortonormální systém v unitárním prostoru R
    • f je libovolný prvek R
    • ck = (f, φk) souřadnice (Fourierovy koeficienty)
    • ∑ckφk je Fourierova řada
  14. Besselova nerovnost
    • ∑ckφk je Fourierova řada prvku f v ortonormálním systému {φk} v unitárním prostoru R
    • pak ∑ck2 ≤ ∥f∥2
  15. Uzavřený ortonormální systém
    • pro každý prvek f a ortornomální systém {φk} v unitárním prostoru R platí Parsevalova rovnost:
    • ∑ck2 = ∥f∥2
    • tedy posloupnost částečných součtů každé Fourierovy řada konverguje k f
  16. Hilbertův prostor
    úplný unitární prostor nekonečné dimenze

What would you like to do?

Home > Flashcards > Print Preview