2.2 Mathematische Eigenschaften

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  1. Wie lautet die Definition für globale und lokale Minima?
    • Die Zielfunktion f(x) besitzt ein globales Minimum an der Stelle Image Upload, wenn Image Upload für alle Image Upload
    • Die Zielfunktion f(x) besitzt ein lokales Minimum an der Stelle Image Upload, wenn Image Upload für alle Image Upload in einer hinreichend kleinen Umgebung von xImage Upload
  2. Wie lautet die Existenzaussage eines globalen Minimum?
    Wenn die Zielfunktion f(x) stetig ist und der zulässige Bereich X abgeschlossen und beschränkt ist, dann gibt es ein globales Minimum in X.
  3. Wie lauten die Aussagen der Konvexität von Teilmengen und Funktionen?
    • Eine Teilmenge X des Image Upload wird als konvex bezeichnet, wenn Image Upload und jede reelle Zahl Image Upload gilt.
    • Eine reellwertige Funktion f(x) auf der konvexen Menge X wird als konvex bezeichnet, wenn Image Upload und jede reelle Zahl Image Upload.
  4. Wann bezeichnet man eine Optimierungsaufgabe als konvex?
    • Wenn die Zielfunktion konvex ist.
    • Die Komponenten des Vektor der Ungleichheitsrestriktionen g(x) konvex sind und
    • die Komponenten des Vektors der Gleichheitsrestriktionen h(x) affin-lineare Abbildungen sind.
  5. Was gilt bzgl. der Lösung einer konvexen und einer nicht-konvexen Optimierungsaufgabe?
    • Konvexe Optimierungsaufgaben haben höchstens eine Lösung
    • Nicht-konvexe Optimierungsaufgaben können verschiedene Lösungen haben.
  6. Was versteht man als Optimalitätsbedingungen?
    • Überprüfung der Optimalität, z.B. als Abbruchkriterium
    • Grundlage für iterative Verfahren zur Auffindung von Optimallösungen
  7. Was sind die Bedingungen für ein Minimum bei restriktionsfreien Problemen?
    • Notwendige Bedingung: Image Upload (stationärer Punkt)
    • Hinreichende Bedingung: Ist 1. erfüllt und die Hesse-Matrix Image Upload positiv definit, dann ist Image Upload ein isoliertes lokales Minimum
  8. Was sind die Bedingungen für ein Minimum bei Problemen mit Restriktionen?
    • Kuhn-Tucker-Bedingungen (Einführung der Lagrange-Funktion)
    • 1. Image Upload ist zulässig: Image Upload und Image Upload
    • 2. Image Upload
    • 3. Image Upload
    • Für konvexe Probleme sind die KT-Bedingungen auch hinreichend, für nicht-konvexe Probleme nur notwendig.
  9. Wie funktioniert die Bestimmung der KT-Parameter?
    • Image Upload mit m bindenden Restriktionen und n Entwurfsvariablen. Dann gilt:
    • 1. Image Upload: LGS mit quadr. Koeffizientenmatrix
    • 2. Image Upload Restriktionsgradienten lin. abhängig
    • 3. Image Upload -Auswahl von m Gleichungen liefert quadr. Koeffizientenmatrix, -KT-Parameter aus Ausgleichsproblem Image Upload, -KT-Parameter aus LGS Image Upload, -Künstliches Aktivieren von Restriktionen
  10. Welche Formen kann eine Optimierungsaufgabe aus der bisherigen Image Upload annehmen?
    • 1. Maximierung der Zielfunktion Image Upload
    • 2. Positive Ungleichheitsrestriktionen Image Upload
    • 3. Umwandlung von Ungleichheitsrestriktionen in Gleichheitsrestriktionen (für manche Algorithmen notwendig) durch Einführung einer Schlupfvariable Image Upload
    • 4. Oft explizite Aufnahmen von Restriktionen der Art Image Upload in Optimierungsproblem zweckmäßig, wobei Image Upload ein abgeschlossenes Intervall darstellt.
Author:
Thorsten662
ID:
229854
Card Set:
2.2 Mathematische Eigenschaften
Updated:
2013-08-13 07:27:59
Tags:
Strukturoptimierung Allgemeine Problemformulierung Mathematische Eigenschaften
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Fragen zum 2. Kapitel aus dem Skript zur Vorlesung "Strukturoptimierung" an der TU Darmstadt.
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