2.2 Mathematische Eigenschaften

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Author:
Thorsten662
ID:
229854
Filename:
2.2 Mathematische Eigenschaften
Updated:
2013-08-13 03:27:59
Tags:
Strukturoptimierung Allgemeine Problemformulierung Mathematische Eigenschaften
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Fragen zum 2. Kapitel aus dem Skript zur Vorlesung "Strukturoptimierung" an der TU Darmstadt.
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  1. Wie lautet die Definition für globale und lokale Minima?
    • Die Zielfunktion f(x) besitzt ein globales Minimum an der Stelle , wenn  für alle
    • Die Zielfunktion f(x) besitzt ein lokales Minimum an der Stelle , wenn  für alle  in einer hinreichend kleinen Umgebung von x
  2. Wie lautet die Existenzaussage eines globalen Minimum?
    Wenn die Zielfunktion f(x) stetig ist und der zulässige Bereich X abgeschlossen und beschränkt ist, dann gibt es ein globales Minimum in X.
  3. Wie lauten die Aussagen der Konvexität von Teilmengen und Funktionen?
    • Eine Teilmenge X des  wird als konvex bezeichnet, wenn  und jede reelle Zahl  gilt.
    • Eine reellwertige Funktion f(x) auf der konvexen Menge X wird als konvex bezeichnet, wenn  und jede reelle Zahl .
  4. Wann bezeichnet man eine Optimierungsaufgabe als konvex?
    • Wenn die Zielfunktion konvex ist.
    • Die Komponenten des Vektor der Ungleichheitsrestriktionen g(x) konvex sind und
    • die Komponenten des Vektors der Gleichheitsrestriktionen h(x) affin-lineare Abbildungen sind.
  5. Was gilt bzgl. der Lösung einer konvexen und einer nicht-konvexen Optimierungsaufgabe?
    • Konvexe Optimierungsaufgaben haben höchstens eine Lösung
    • Nicht-konvexe Optimierungsaufgaben können verschiedene Lösungen haben.
  6. Was versteht man als Optimalitätsbedingungen?
    • Überprüfung der Optimalität, z.B. als Abbruchkriterium
    • Grundlage für iterative Verfahren zur Auffindung von Optimallösungen
  7. Was sind die Bedingungen für ein Minimum bei restriktionsfreien Problemen?
    • Notwendige Bedingung:  (stationärer Punkt)
    • Hinreichende Bedingung: Ist 1. erfüllt und die Hesse-Matrix  positiv definit, dann ist  ein isoliertes lokales Minimum
  8. Was sind die Bedingungen für ein Minimum bei Problemen mit Restriktionen?
    • Kuhn-Tucker-Bedingungen (Einführung der Lagrange-Funktion)
    • 1.  ist zulässig:  und 
    • 2. 
    • 3. 
    • Für konvexe Probleme sind die KT-Bedingungen auch hinreichend, für nicht-konvexe Probleme nur notwendig.
  9. Wie funktioniert die Bestimmung der KT-Parameter?
    •  mit m bindenden Restriktionen und n Entwurfsvariablen. Dann gilt:
    • 1. : LGS mit quadr. Koeffizientenmatrix
    • 2.  Restriktionsgradienten lin. abhängig
    • 3.  -Auswahl von m Gleichungen liefert quadr. Koeffizientenmatrix, -KT-Parameter aus Ausgleichsproblem , -KT-Parameter aus LGS , -Künstliches Aktivieren von Restriktionen
  10. Welche Formen kann eine Optimierungsaufgabe aus der bisherigen  annehmen?
    • 1. Maximierung der Zielfunktion 
    • 2. Positive Ungleichheitsrestriktionen 
    • 3. Umwandlung von Ungleichheitsrestriktionen in Gleichheitsrestriktionen (für manche Algorithmen notwendig) durch Einführung einer Schlupfvariable 
    • 4. Oft explizite Aufnahmen von Restriktionen der Art  in Optimierungsproblem zweckmäßig, wobei  ein abgeschlossenes Intervall darstellt.

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