2.2 Mathematische Eigenschaften

• Die Zielfunktion f(x) besitzt ein globales Minimum an der Stelle , wenn  für alle
• Die Zielfunktion f(x) besitzt ein lokales Minimum an der Stelle , wenn  für alle  in einer hinreichend kleinen Umgebung von x

Wenn die Zielfunktion f(x) stetig ist und der zulässige Bereich X abgeschlossen und beschränkt ist, dann gibt es ein globales Minimum in X.

• Eine Teilmenge X des  wird als konvex bezeichnet, wenn  und jede reelle Zahl  gilt.
• Eine reellwertige Funktion f(x) auf der konvexen Menge X wird als konvex bezeichnet, wenn  und jede reelle Zahl .

• Wenn die Zielfunktion konvex ist.
• Die Komponenten des Vektor der Ungleichheitsrestriktionen g(x) konvex sind und
• die Komponenten des Vektors der Gleichheitsrestriktionen h(x) affin-lineare Abbildungen sind.

• Konvexe Optimierungsaufgaben haben höchstens eine Lösung
• Nicht-konvexe Optimierungsaufgaben können verschiedene Lösungen haben.

• Überprüfung der Optimalität, z.B. als Abbruchkriterium
• Grundlage für iterative Verfahren zur Auffindung von Optimallösungen

• Notwendige Bedingung:  (stationärer Punkt)
• Hinreichende Bedingung: Ist 1. erfüllt und die Hesse-Matrix  positiv definit, dann ist  ein isoliertes lokales Minimum

• Kuhn-Tucker-Bedingungen (Einführung der Lagrange-Funktion)
• 1.  ist zulässig:  und 
• 2. 
• 3. 
• Für konvexe Probleme sind die KT-Bedingungen auch hinreichend, für nicht-konvexe Probleme nur notwendig.

•  mit m bindenden Restriktionen und n Entwurfsvariablen. Dann gilt:
• 1. : LGS mit quadr. Koeffizientenmatrix
• 2.  Restriktionsgradienten lin. abhängig
• 3.  -Auswahl von m Gleichungen liefert quadr. Koeffizientenmatrix, -KT-Parameter aus Ausgleichsproblem , -KT-Parameter aus LGS , -Künstliches Aktivieren von Restriktionen

• 1. Maximierung der Zielfunktion 
• 2. Positive Ungleichheitsrestriktionen 
• 3. Umwandlung von Ungleichheitsrestriktionen in Gleichheitsrestriktionen (für manche Algorithmen notwendig) durch Einführung einer Schlupfvariable 
• 4. Oft explizite Aufnahmen von Restriktionen der Art  in Optimierungsproblem zweckmäßig, wobei  ein abgeschlossenes Intervall darstellt.