2.2 Mathematische Eigenschaften

  1. Wie lautet die Definition für globale und lokale Minima?
    • Die Zielfunktion f(x) besitzt ein globales Minimum an der Stelle Image Upload 2, wenn Image Upload 4 für alle Image Upload 6
    • Die Zielfunktion f(x) besitzt ein lokales Minimum an der Stelle Image Upload 8, wenn Image Upload 10 für alle Image Upload 12 in einer hinreichend kleinen Umgebung von xImage Upload 14
  2. Wie lautet die Existenzaussage eines globalen Minimum?
    Wenn die Zielfunktion f(x) stetig ist und der zulässige Bereich X abgeschlossen und beschränkt ist, dann gibt es ein globales Minimum in X.
  3. Wie lauten die Aussagen der Konvexität von Teilmengen und Funktionen?
    • Eine Teilmenge X des Image Upload 16 wird als konvex bezeichnet, wenn Image Upload 18 und jede reelle Zahl Image Upload 20 gilt.
    • Eine reellwertige Funktion f(x) auf der konvexen Menge X wird als konvex bezeichnet, wenn Image Upload 22 und jede reelle Zahl Image Upload 24.
  4. Wann bezeichnet man eine Optimierungsaufgabe als konvex?
    • Wenn die Zielfunktion konvex ist.
    • Die Komponenten des Vektor der Ungleichheitsrestriktionen g(x) konvex sind und
    • die Komponenten des Vektors der Gleichheitsrestriktionen h(x) affin-lineare Abbildungen sind.
  5. Was gilt bzgl. der Lösung einer konvexen und einer nicht-konvexen Optimierungsaufgabe?
    • Konvexe Optimierungsaufgaben haben höchstens eine Lösung
    • Nicht-konvexe Optimierungsaufgaben können verschiedene Lösungen haben.
  6. Was versteht man als Optimalitätsbedingungen?
    • Überprüfung der Optimalität, z.B. als Abbruchkriterium
    • Grundlage für iterative Verfahren zur Auffindung von Optimallösungen
  7. Was sind die Bedingungen für ein Minimum bei restriktionsfreien Problemen?
    • Notwendige Bedingung: Image Upload 26 (stationärer Punkt)
    • Hinreichende Bedingung: Ist 1. erfüllt und die Hesse-Matrix Image Upload 28 positiv definit, dann ist Image Upload 30 ein isoliertes lokales Minimum
  8. Was sind die Bedingungen für ein Minimum bei Problemen mit Restriktionen?
    • Kuhn-Tucker-Bedingungen (Einführung der Lagrange-Funktion)
    • 1. Image Upload 32 ist zulässig: Image Upload 34 und Image Upload 36
    • 2. Image Upload 38
    • 3. Image Upload 40
    • Für konvexe Probleme sind die KT-Bedingungen auch hinreichend, für nicht-konvexe Probleme nur notwendig.
  9. Wie funktioniert die Bestimmung der KT-Parameter?
    • Image Upload 42 mit m bindenden Restriktionen und n Entwurfsvariablen. Dann gilt:
    • 1. Image Upload 44: LGS mit quadr. Koeffizientenmatrix
    • 2. Image Upload 46 Restriktionsgradienten lin. abhängig
    • 3. Image Upload 48 -Auswahl von m Gleichungen liefert quadr. Koeffizientenmatrix, -KT-Parameter aus Ausgleichsproblem Image Upload 50, -KT-Parameter aus LGS Image Upload 52, -Künstliches Aktivieren von Restriktionen
  10. Welche Formen kann eine Optimierungsaufgabe aus der bisherigen Image Upload 54 annehmen?
    • 1. Maximierung der Zielfunktion Image Upload 56
    • 2. Positive Ungleichheitsrestriktionen Image Upload 58
    • 3. Umwandlung von Ungleichheitsrestriktionen in Gleichheitsrestriktionen (für manche Algorithmen notwendig) durch Einführung einer Schlupfvariable Image Upload 60
    • 4. Oft explizite Aufnahmen von Restriktionen der Art Image Upload 62 in Optimierungsproblem zweckmäßig, wobei Image Upload 64 ein abgeschlossenes Intervall darstellt.
Author
Thorsten662
ID
229854
Card Set
2.2 Mathematische Eigenschaften
Description
Fragen zum 2. Kapitel aus dem Skript zur Vorlesung "Strukturoptimierung" an der TU Darmstadt.
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