3.1 Probleme ohne Restriktionen

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  1. Wie sieht ein Problem ohne Restriktionen aus?
    Minimierung freier Funktionen: Image Upload
  2. Klassifizieren Sie die Algorithmen.
    • Methoden nullter Ordnung: benötigen nur Funktionswerte (ableitungsfreie Verfahren)
    • Methoden erster Ordnung: benöten auch erste Ableitungen
    • Methoden zweiter Ordnung: benötigen zusätzlich zweite Ableitungen
  3. Was lässt sich zu den Methoden nullter Ordnung sagen?
    Es werden keine Ableitungen benötigt, daher einfach, meistens recht robust, aber geringe Effizienz.
  4. Was gibt es für Methoden nullter Ordnung zum Lösen von (restriktionsfreien) Problemen?
    • 1. Vollständige Enumeration
    • 2. Zufallssuche im Entwurfsvariablenraum (Monte-Carlo-Verfahren)
    • 3. Zufallssuche über Zufallssuchrichtung mit nachfolgender eindimensionaler Minimierung
    • 4. Powellsche Methode der konjugierten Richtungen
    • 5. Evolutionsverfahren
  5. Wie funktioniert die Methode der vollständigen Enumeration?
    • Suchgebiet mit n-dimensionalem Gitter überziehen. Bestimmung und
    • Vergleichen der Zielfunktionswerte Äußerst einfache Programmierung, aber
    • führt leicht zu extremen Rechenaufwand.
  6. Wie funktioniert die Methode der Zufallssuche im Entwurfsvariablenraum (Monte-Carlo-Verfahren)?
    Suchpunkte mit Zufallszahlengenerator ermitteln, ebenfalls leicht ineffizient.
  7. Wie funktioniert die Methode der Zufallssuche über Zufallssuchrichtung mit nachfolgender eindimensionaler Minimierung?
    Ausgehend von einem Entwurfsvariablenpunkt Image Upload erzeugt man verbesserte Punkte Image Upload durch Zufallsauswahl der Suchrichtung und Bestimmung der optimalen Schrittweite Image Upload. Falls nur eine Zunahme von Image Upload, ersetzt man Image Upload durch Image Upload. Verfahren effizienter als direkte Zufallssuche. Auf dem Strahl wird die Zielfunktion "eindimensional" optimiert: Image Upload.
  8. Wie funktioniert die Powellsche Methode der konjugierten Richtungen?
    • Zunächst nacheinander Image Upload aufeinander folgende eindimensionale Optimierungen in Image Upload willkürlich gewählten Suchrichtungen Image Upload.
    • Image Upload jeweils optimierte Schrittweite Image Upload
    • Dann neue Suchrichtung, die den bisherigen "Trend" berücksichtigt.
    • Konjugierte Richtung: Image Upload
    • eindimensionale Optimierung Image Upload
    • als nächste Suchrichtung Image Upload ... usw
    • Problem: Im Laufe der Iteration letzte Image Upload Suchrichtungen immer stärker parallel zueinander
    • Abhilfe: Neustart mit Image Upload orthogonalen Suchrichtungen.
    • Methode insgesamt recht effizient und zuverlässig für kleine Prbleme Image Upload.
  9. Wie funktioniert das Evolutionsverfahren?
    • Zufallsstrategien, die biologischen Prozess der Evolution nachempfinden.
    • Startvektor (Eltern)
    • Mutationen (Nachkommen) mit Hilfe von Zufallszahlengenerator
    • Selektion: Vektoren mit zu schlechten
    • Zielfunktionswerten verwerfen.
    • auch für restringierte Optimierungsprobleme
    • hohe Allgemeingültigkeit und leicht programmierbar
    • nur wenig effizient
  10. Was gibt es für Methoden erster Ordnung zum Lösen von (restriktionsfreien) Problemen?
    • 1. Methode des steilsten Abstiegs
    • 2. Verfahren der konjugierten Richtungen von Fletcher und Reeves
  11. Wie funktioniert die Methode des steilsten Abstiegs?
    • Suchrichtung Image Upload und eindimensionale Optimierung Image Upload
    • sehr einfach
    • Konvergenz oft langsam, Neigung zu "Zick-Zack-Verläufen"
  12. Wie funktioniert das Verfahren der konjugierten Richtungen von Fletcher und Reeves?
    • Nutzt Informationen aus jeweils vorangegangener Suchrichtung. Image Upload
    • Ist leichte Modifikation der Methode des steilsten Abstiegs, meistens erheblich besser. Eine der effizientesten Minimierungstechniken.
  13. Was gibt es für Methoden zweiter Ordnung zum Lösen von (restriktionsfreien) Problemen?
    • (Methoden zweiter Ordnung verwenden die zweiten Ableitungen der Zielfunktion, weitere Verbesserung der Konvergenz)
    • 1. Newton-Verfahren
  14. Wie funktioniert das Newton-Verfahren?
    • Bestimme Image Upload aus Image Upload über die Taylor-Entwicklung Image Upload
    • wobei Image Upload und Image Upload. (Hesse-Matrix)
    • Image Upload
    • Image Upload
    • Damit ergibt sich dann die Iterationsvorschrift Image Upload.
    • statt Inversion der Hesse-Matrix ermittle Image Upload als Unbekannte des linearen Gleichungssystems Image Upload, erneute Taylorentwicklung an der Stelle Image Upload ... usw
    • Problem: Hesse-Matrix Image Upload kann (fast) singulär sein, z.B. wenn Entwurfsvariablen (fast) linear in Image Upload eingehen.
    • Alternative: Approximation der Hesse-Matrix mittels der Zielfunktionsgradienten aufeinanderfolgender Iterationsschritte. Image Upload Quasi-Newton-Verfahren (Broydon-Fletcher-Goldfarb-Shanno Image Upload BFGS)
Author:
Thorsten662
ID:
229961
Card Set:
3.1 Probleme ohne Restriktionen
Updated:
2013-08-15 10:26:13
Tags:
Strukturoptimierung Optimierungsalgorithmen Probleme ohne Restriktionen
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Fragen zum 3. Kapitel aus dem Skript zur Vorlesung "Strukturoptimierung" an der TU Darmstadt.
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